四、世界空间到相机空间的变换

　　空间坐标系XYZ，相机坐标系UVN.这时候相机空间的基(以下简称相机)在空间坐标系中围绕各个坐标轴旋转了一定角度，然后移动了。对于模型我们可以看作相对于相机的逆运动，即模型旋转了一定角度<-a，-b，-c>，然后移动了<-x，-y，-z>，可以把相机和物体的运动看成两个互逆的变换。这样，可以通过对相机的变换矩阵求逆来得到模型的变换矩阵。下面来具体看一下，如何得到相机变换矩阵，并且求得它的逆矩阵。

　　首先声明一下，对于一个模型的变换，我们可以给模型矩阵左乘变换矩阵：

M x P = P'

| A B C D |     | x |    | Ax + By + Cz + D |
| E F G H |     | y |    | Ex + Fy + Gz + H |
             x         =
| I J K L |     | z |    | Ix + Jy + Kz + L |
| M N O P |     | 1 |    | Mx + Ny + Oz + P |

　　也可以右乘变换矩阵：

P^T x M^T = P'^T

                | A E I M |
                | B F J N |
| x y z 1|   x               =  |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P|
                | C G K O |
                | D H L P |

　　可以看出两种变换方式是一个转置关系，结果只是形式上的不同，但这里我们使用后者，即右乘变换矩阵，因为比较普遍。

　　很显然，相机的变换可以分成两个阶段：旋转和平移。我们先来看旋转。

　　在空间坐标系中，相机旋转之前世界坐标系xyz和相机坐标系u0v0n0的各个轴向量的方向相同，有关系：

                    | u0 |                  | x |
P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 |  =  |Px Py Pz| x | y |
                    | n0 |                  | z |

　　这里P是空间坐标系中的一个向量。|u0 v0 n0|^T是相机基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相机基矩阵下的坐标。|x y z|^T是世界基矩阵，|Px Py Pz|是P在它下面的坐标。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz.

　　相机和向量P都旋转之后，有关系：

                     | u |                   | x |
P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
                     | n |                   | z |

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