三、空间坐标系中一个点围绕任一轴的旋转

　　上一篇讨论3-D空间旋转的时候说到有一个高档的方法做3-D空间任意轴旋转，现在我们的知识储备已经足够理解这个方法了(Quake引擎使用的就是这个方法)。

　　如上所示，空间坐标系中的一个局部坐标系xyz中有一个向量a(2，5，3)和一个点p(8，4，2)现在我要让p点围绕a向量旋转60度，得到p‘点，该如何做呢?从目前掌握的旋转知识来看，我们有两个理论基础：

　　1)在一个坐标系中的一个点，如果要它围绕该坐标系中一个坐标轴旋转，就给它的坐标值乘相应的旋转矩阵，如

[cosA -sinA 0 ]
[sinA cosA  0 ]
[0    0     1 ]

　　等等。

　　2)我们已经学习了局部坐标系的理论了，知道空间中一个点在不同的坐标系中的坐标不同。利用这一点，我们可以很方便的让一个点或者向量在不同的坐标系之间转换。

　　我们联系这两个理论根据，得出我们的思路：

　　1构造另一个局部坐标系abc，使得a成为该坐标系的一个坐标轴。

　　2 把p的坐标变换到abc中，得到p‘，用旋转公式让p’围绕已经成为坐标轴的a旋转，得到p‘’。

　　3把p‘’再变换回坐标系xyz，得到p‘’‘，则p’‘’就是p围绕a旋转后的点。

　　下面我们逐步说明。

　　首先我们构造abc，我们有无数种方法构造，因为只要保证b、c之间以及他们和a之间都正交就可以了，但我们只要一个。根据上图，我们首先产生一个和a正交的b.这可以通过向量的叉乘来完成：我们取另一个向量v(显然，这个向量是不能和a共线的任何非零向量)，让它和a决定一个平面x，然后让v叉乘a得到一个垂直于x的向量b，因为b垂直于x，而a在平面x上，因此b一定垂直于a，然后用a叉乘b得到c，最后单位化a、b、c，这样就得到了局部坐标系abc.

　　然后我们把p点变换到abc坐标系中，得到p‘，即p’就是p在abc中的坐标：

|a  b  c| * p’=  |x  y  z| * p
p’ = |a  b  c|^-1 * |x  y  z| * p
      |ax bx cx|        |1 0 0|   |px|
p’ = |ay by cy| ^-1 *  |0 1 0| * |py|
      |az bz cz|        |0 0 1|   |pz|

　　注意这里|a b c|^-1即矩阵|a b c|的逆矩阵，因为a、b、c是三个正交向量，并且是单位向量，因此|a b c|是一个正交矩阵，正交矩阵的转置和逆相等，这是它的一个特性，因此上面的公式就可以写成：

      |ax ay az|     |1 0 0|   |px|
p’ = |bx by bz|  *  |0 1 0| * |py|
      |cx cy cz|     |0 0 1|   |pz|

　　这个时候p‘就是p在abc坐标系下的坐标了。此时a已经是一个坐标轴了，我们可以用旋转矩阵来做。

p’’ = RotMatrix * p’

        [1 0          0]   |p’x|
p’’ = [0 cos60 -sin60] * |p’y|
        [0 sin60  cos60]   |p’z|

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【责编:Kittoy】