相反的，也可以这样说：当一个向量b'与另一个向量a的夹角在(PI/2， 3*PI/2)之间，它在a相反方向上的投影向量c'是

　　c'= ( b'. a1 ) * a1，其中 a1是a的单位向量；它在a方向上的投影向量c是c = ( b . a1 ) * a1.其中向量b是b'的同模相反向量。

　　特别的，点乘两个单位向量，得到它们夹角的余弦值：

　　E.E = |E|*|E|*cosA = 1*1*cosA = cosA

　　好了，可完了。 现在就可以看一下

　　三、使用向量模拟任意角度反弹的原理

　　根据初等物理，相互接触的物体在受到外力具有接触面相对方向相对运动趋势的时候，接触面会发生形变从而产生相互作用的弹力。

　　弹力使物体形变或形变同时运动形式发生改变。在知道了这件事情之后，我们开始具体讨论下面这种情况：

　　矩形框和小球碰撞，碰撞时间极短，墙面无限光滑从而碰撞过程没有摩擦，碰撞时间极短，没有能量损失……总之是一个理想的物理环境。我们在这种理想环境下讨论，小球与墙面发生了完全弹性碰撞，且入射角和反射角相等：A=A'，B=B'，C=C'，……。虚线是法线，它和墙面垂直。小球将在矩形框中永无休止的碰撞下去，且每次碰撞过程中入射角和反射角都相等。

　　我们再具体点，现在假设上面那个矩形墙壁的上下面平行于x轴，左右面平行于y轴。这样太好了，我们在编写程序的时候只要判断当球碰到上下表面的时候将y方向速度值取返，碰到左右表面时将x方向速度值取返就行了，这种方法常常用在简单物理模型和规则边界框的游戏编程上，这样可以简化很多编程步骤，编写简单游戏时可以这样处理。可事实不总是像想向中的那么好。如果情况像下面这样：

　　虽然在碰撞过程中入射角仍然等于反射角，但是边界的角度可没那么“纯”了，它们的角度是任意的，这样就不能简单的将x方向或者y方向的速度取返了，我们要另找解决办法。

　　我们现在的任务是：已知物体的速度向量S和边界向量b，求它的反射向量F.我们先来看一下在碰撞过程中都有哪些向量关系：

　　设b是障碍向量，S是入射速度向量，F是反射速度向量，也就是我们要计算的向量。A是入射角度，A'是反射角度，A=A'.N是b的法向量，即N垂直于b.n是与N共线的向量，n'是N方向的单位向量。T是垂直于N的向量。根据向量加法，现在有关系：

　　(1) S + n = T

　　(2) n + T = F

　　合并，得

　　F = 2*T - S

　　我们已经找到了计算F的公式了。这里S是已知的，我们要计算一下T，看(1)式：

　　T = S + n

　　要计算T，S是已知的，就要计算一下n.我们知道，n是S在N方向上投影得到的，S已知所以要得到n就要再计算一下N，而N又是和b垂直的。还记得刚才我们导出的使用向量的两个技巧吧，这里我们都要用到：

　　1、任给一个非零向量(x，y)，则它相对坐标轴逆时针转90度的垂直向量为(-y，x)，顺时针转90度垂直向量为(y，-x)。

　　2、当一个向量b与另一个向量a的夹角在(0， PI/2)&(3*PI/2， 2*PI)之间，它在a方向上的投影向量c就是c = ( b . a1 ) * a1，其中a1是a的单位向量；它在a相反方向的投影向量c'是c'= ( b'. a1 ) * a1，其中向量b'是b的同模相反向量。

　　我们知道了b，用技巧1可以计算出N.然后归一化N计算出n'，再用技巧2，这里S和n'之间的夹角在(PI/2， 3*PI/2)中，因此要想用c = ( b. a1 ) * a1，必须要使b = -S，a1=n'.这样就计算出了n.然后根据上面的(1)式计算出T，好了，有了T和F = 2*T - S ，你就拥有了一切！

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【责编:Kittoy】